来源: Learning more about Claude's mathematical capabilities \ Anthropic
最近，Anthropic公司的一名员工给克劳德出了个不合理的难题。这个难题是关于数学中最著名的未解难题之一：认真尝试解答黎曼猜想 。
克劳德确实尝试了一番，但正如你可能预料到的那样（如果你了解这项任务的难度，就会知道黎曼猜想可以追溯到1859年，而且悬赏金额高达一百万美元），它并没有成功。然而，在尝试的过程中，它却意外地在一个相关问题上取得了进展。
Claude 的一个未公开的研究版本改进了黎曼zeta函数满足黎曼猜想的零点比例的长期下界。该版本借鉴了过去几十年数学家们的大量研究成果，将这一下界从41.6%提高到了67.2%。
安人智研究所的两位数学家研究并验证了克劳德的论文，并撰写了一份非正式的专家说明，简明扼要地阐述了克劳德的证明。克劳德本人也给出了其结果的正式可验证证明。我们非常感谢该领域的两位专家布莱恩·康瑞和丹·戈德斯顿，他们在短时间内慷慨地审阅了这篇论文。
我们并不指望克劳德使用的技术能够证明黎曼猜想。但他的工作是人工智能模型数学能力快速发展的最新例证。在本文中，我们将探讨克劳德是如何解决这个问题的，以及他发现了什么。
黎曼zeta函数
黎曼zeta函数描述了素数的分布：函数值每取零点，都会使素数序列的分布更加精细。黎曼猜想指出，决定素数分布的零点都位于一条特定的垂直线上。这已成为数学中最重要的猜想之一：许多数学结果都基于此假设，以解释素数分布的某种随机性。
至今无人能够证明或证伪黎曼猜想，但数学家们在研究黎曼zeta函数及其零点方面，已在诸多相关方向上取得了进展。其中一项进展，如上所述，是量化位于直线上的零点的最小比例：随着时间的推移，他们已逐步将这一已知的恒定比例提高到41.6%。
另一个研究方向关注直线上零点的分布。具体来说，1973年，蒙哥马利（Montgomery）在该领域 引入了一些新技术，尽管这些技术都基于一个假设。近年来，几位数学家（Baluyot、Goldston、Suriajaya和Turnage-Butterbaugh）发表了一系列著作，使得蒙哥马利的技术无需 该假设即可适用，这意味着它们可以支持提高直线上零点下界常数的研究。克劳德（Claude）的研究成果很大程度上借鉴了这一研究方向，以及邦比耶里（Bombieri）2000年发表的一篇论文。
克劳德的发现
Claude 发现，将 Baluyot、Goldston、Suriajaya 和 Turnage-Butterbaugh 的研究成果与 Bombieri 的研究成果相结合，可以超越之前最先进的 41.6% 的下限比例，将其提高到 67.2%。
克劳德发现的简要技术解释如下：克劳德构造了一个合适的函数空间，其中包含由韦伊诱导的二次型，以及由直线上的零点产生的正定（负定）子空间。然后，克劳德简单地用一阶矩和二阶矩信息写出了一个关于二次型秩的不等式。（在解析数论中，利用素数上的对偶图景或通过控制希尔伯特变换来成功计算二阶矩并不令人惊讶。）克劳德敢于同时考虑正负定性，并允许二次型为非对角函数，这种勇气在某种意义上使他能够基于重要的前期工作得出结论。
完整的技术解释见论文原文。克劳德对结果推导过程的解释见此处单独的附录。
克劳德的方法论
Claude 的一个未发布的研究版本在 Claude Code 的两个会话中，使用总共 3100 万个输出标记，找到了新的下限。
人格研究所的一名工作人员（并非数学家）贾里德·萨姆纳（Jarred Sumner）鼓励克劳德（Claude）对假设本身进行“真正的尝试”，而将后续的数学选择留给模型自行决定。最初，克劳德生成并尝试了650个想法，但都失败了。贾里德鼓励克劳德再次尝试，这次它花了一天半的时间协调大约60个克劳德子代理，这次的运行更加深入：这些子代理共运行了2400条shell命令，并编写了数百个Python脚本。 1 这些子代理针对已知的zeta零值进行了数千次数值检查，并互相评审彼此的工作。在整个过程中，贾里德的投入主要限于向克劳德发送鼓励信息（大多是“坚持下去”或“相信自己”之类的）。 2这似乎帮助克劳德克服了最初对能否取得实质性进展的怀疑。
在尝试完成任务的过程中发现了这一新结果后，克劳德通过让多个子智能体审查证明、寻找反例、从arXiv下载54篇论文以确认其发现是否已被他人提出，以及从头开始独立地重新证明其发现，来检验其结果的可靠性。克劳德自愿将研究成果撰写成论文，并建议由一位人类数论专家来验证其结果。
Anthropic公司的两位数学家Levent Alpöge和Ralph Furman仔细研究了Claude的工作，以理解新的研究成果及其与上述先前工作的关联。与此同时，Claude与另一位员工Eric Easley合作，对该成果进行了Lean形式化描述，并通过了标准验证工具的比较。
人工智能模型在数学领域的进展
这一结果表明，像克劳德这样的AI模型能够以新颖且有时令人惊讶的方式拓展数学家思想的影响范围。尽管它本身未能解决黎曼猜想，但这一结果却是最初设想的意外收获。
就连克劳德也对自己的发现感到惊讶——起初它持怀疑态度，可能是因为它从训练中了解到数学开放性问题的难度以及人工智能模型的局限性。但在一些鼓励性的提示下，它最终得出了我们所描述的结果。或许克劳德和我们许多人一样，低估了人工智能的发展速度。
延伸阅读
以下文件清单提供了有关克劳德检测结果的更多信息：